Calcule as seguintes integrais definidas: integraltheta / 4^3 theta / 8 sec t(sec t+tan t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral definida integraltheta / 4^3 theta / 8 sec t(sec t+tan t) , dt. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como integrar sec t e tan t.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando sec t pelos termos dentro do parênteses, temos:
sec t(sec t + tan t) = sec^2 t + sec t tan t

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
  • A integral de sec^2 t em relação a t é tan t.
  • A integral de sec t tan t em relação a t é sec t.
Então, a integral fica:
integral (sec^2 t + sec t tan t) , dt = tan t + sec t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Como estamos lidando com uma integral definida, precisamos calcular a diferença dos valores da antiderivada nos limites de integração. Ou seja:
[ tan t + sec t ]theta / 4^3 theta / 8 = ( tan ( dfrac3theta8 ) + sec ( dfrac3theta8 ) ) - ( tan ( dfractheta4 ) + sec ( dfractheta4 ) )

Resposta

O valor da integral definida é:
tan( dfrac3theta8 ) + sec( dfrac3theta8 ) - tan( dfractheta4 ) - sec( dfractheta4 )

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