Calcule as seguintes integrais definidas:
.
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
de
até
. Isso envolve conceitos de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cosseno ao quadrado e, em seguida, integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, usamos a identidade trigonométrica que transforma
em uma forma mais fácil de integrar:
Essa fórmula ajuda a simplificar a integral, tornando-a mais manejável.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral original:
Passo 4
Agora, dividimos a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 5
Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Substituímos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Finalmente, calculamos a diferença entre os valores obtidos nos limites:
Resposta
O valor da integral definida é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
.
Encontre a integral indefinida:
.
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Use as regras de derivação do produto e do quociente para calcular as seguintes derivadas: