Calcule as seguintes integrais definidas: .

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de de até . Isso envolve conceitos de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cosseno ao quadrado e, em seguida, integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica que transforma em uma forma mais fácil de integrar:
Essa fórmula ajuda a simplificar a integral, tornando-a mais manejável.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral original:

Passo 4

Agora, dividimos a integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Substituímos e :
Para :
Para :

Passo 7

Finalmente, calculamos a diferença entre os valores obtidos nos limites:

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas: .
Encontre a integral indefinida: .
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Use as regras de derivação do produto e do quociente para calcular as seguintes derivadas: