Calcule as seguintes integrais definidas: integral2 pi^5 pi cos ^2 x d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de cos^2 x de 2pi até 5pi. Isso envolve conceitos de cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cosseno ao quadrado e, em seguida, integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade trigonométrica que transforma cos^2 x em uma forma mais fácil de integrar:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
Essa fórmula ajuda a simplificar a integral, tornando-a mais manejável.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral original:
integral2pi^5pi cos^2 x , dx = integral2pi^5pi 1 + cos(2x)2 , dx

Passo 4

Agora, dividimos a integral em duas partes para facilitar a resolução:
12 integral2pi^5pi 1 , dx + 12 integral2pi^5pi cos(2x) , dx

Passo 5

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeira integral:
12 integral 1 , dx = 12 x
Segunda integral:
12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 2pi a 5pi:
[ 12 x + sin(2x)4 ]2pi^5pi
Substituímos x = 5pi e x = 2pi:
Para 5pi:
12 cdot 5pi + sin(10pi)4 = 5pi2 + 0 = 5pi2
Para 2pi:
12 cdot 2pi + sin(4pi)4 = pi + 0 = pi

Passo 7

Finalmente, calculamos a diferença entre os valores obtidos nos limites:
5pi2 - pi = 5pi2 - 2pi2 = 3pi2

Resposta

O valor da integral definida é 3pi2.

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