Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Aqui, vamos usar conceitos de limites e desenvolvimento em séries de Taylor para resolver. Precisaremos expandir as funções e em séries de Taylor ao redor de para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir e em séries de Taylor perto de 0.
A série de Taylor de é:
E a de é:
Aqui, representa os termos de ordem superior que vamos ignorar porque, para o nosso limite, só precisamos até .

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão original:
Para simplificar as raízes quadradas, vamos usar a expansão de para pequeno:

Passo 4

Aplicando essa expansão:
Para :
Calculando os termos até :
Para :
Calculando os termos até :

Passo 5

Agora, subtraímos as duas expansões:
Simplificando:

Passo 6

Agora substituímos isso de volta na expressão original do limite:

Resposta

O limite é .

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