Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Aqui, vamos usar conceitos de limites e desenvolvimento em séries de Taylor para resolver. Precisaremos expandir as funções
e em séries de Taylor ao redor de
para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir
e em séries de Taylor perto de 0.
A série de Taylor de é:
E a de
é:
Aqui,
representa os termos de ordem superior que vamos ignorar porque, para o nosso limite, só precisamos até
.
Passo 3
Agora, substituímos essas expansões na expressão original:
Para simplificar as raízes quadradas, vamos usar a expansão de
para
pequeno:
Passo 4
Aplicando essa expansão:
Para
:
Calculando os termos até
:
Para :
Calculando os termos até
:
Passo 5
Agora, subtraímos as duas expansões:
Simplificando:
Passo 6
Agora substituímos isso de volta na expressão original do limite:
Resposta
O limite é
.
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.
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p)