Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
lim x 0 raiz1+tg x-raiz1+sen xx^3

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Queremos calcular o limite quando limx to 0 raiz1 + tan x - raiz1 + sen xx^3 se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Aqui, vamos usar conceitos de limites e desenvolvimento em séries de Taylor para resolver. Precisaremos expandir as funções e em séries de Taylor ao redor de para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir sen x = x - x^36 + O(x^5) e em séries de Taylor perto de 0.
A série de Taylor de é:
E a de tan x = x + x^33 + O(x^5) é:
Aqui, representa os termos de ordem superior que vamos ignorar porque, para o nosso limite, só precisamos até .

Passo 3

Agora, substituímos essas expansões na expressão original:
raiz1 + tan x = raiz1 + x + x^33 + O(x^5)
Para simplificar as raízes quadradas, vamos usar a expansão de raiz1 + sen x = raiz1 + x - x^36 + O(x^5) para raiz1 + y approx 1 + y2 - y^28 + O(y^3) pequeno:

Passo 4

Aplicando essa expansão:
Para y = x + x^33 :
raiz1 + tan x approx 1 + x + x^332 - (x + x^33)^28
raiz1 + tan x approx 1 + x2 + x^36 - x^28 - x^412 approx 1 + x2 - x^28 + x^36
Calculando os termos até y = x - x^36 :
raiz1 + sen x approx 1 + x - x^362 - (x - x^36)^28
Para :
raiz1 + sen x approx 1 + x2 - x^312 - x^28 + x^448 approx 1 + x2 - x^28 - x^312
Calculando os termos até :

Passo 5

Agora, subtraímos as duas expansões:
Simplificando:

Passo 6

Agora substituímos isso de volta na expressão original do limite:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados