a) Se a frequência do segundo harmônico do modo fundamental no tubo A é igualà à frequência do terceiro harmônico do modo fundamental no tubo B determine o valor da razão MA / MB.
b) Considere que o lado aberto do tubo B seja fechado (o tubo fica fechado dos dois lados!!!). Nesta situação determine a razão entre as frequências do modo fundamental dos tubos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com frequências harmônicas em tubos sonoros. No item a), a frequência do segundo harmônico do tubo A é igual à frequência do terceiro harmônico do tubo B. Precisamos descobrir a razão MA/MB. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em tubos abertos nos dois lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um tubo aberto nos dois lados, as frequências dos harmônicos são dadas por:
fn = n v2L
onde:
  • fn é a frequência do n-ésimo harmônico,
  • v é a velocidade do som no ar,
  • L é o comprimento do tubo,
  • n é a ordem do harmônico (1, 2, 3, …).

Passo 3

No item a), temos que a frequência do segundo harmônico do tubo A ( f2,A) é igual à frequência do terceiro harmônico do tubo B ( f3,B). Então, podemos escrever:
f2,A = f3,B

Passo 4

Vamos substituir as fórmulas das frequências:
2 v2LA = 3 v2LB
Note que o v e o 2 cancelam dos dois lados:
22LA = 32LB Rightarrow 1LA = 32LB

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para encontrar a razão MA/MB. Supondo que M esteja relacionado ao comprimento, temos:
MAMB = LALB = 2LB3LB = 23

Passo 6

No item b), agora o tubo B passa a ser fechado nos dois lados. Isso muda a forma como as frequências harmônicas são calculadas. Em um tubo fechado, apenas os harmônicos ímpares estão presentes, e as frequências são dadas por:
fn = n v4L
onde n é ímpar (1, 3, 5, …).

Passo 7

Precisamos encontrar a razão entre as frequências do modo fundamental dos tubos A e B. O modo fundamental é o primeiro harmônico, então temos:
f1,A = v2LA e f1,B = v4LB

Passo 8

A razão entre as frequências é:
f1,Af1,B = v2LAv4LB = 4LB2LA = 2LBLA

Passo 9

Sabemos da parte a) que LALB = 23, então:
2LBLA = 2LB(2/3)LB = 3

Resposta

A razão entre as frequências do modo fundamental dos tubos A e B é 3.

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