p) lim x 0 x-tg xx+tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de e, se necessário, usar uma ferramenta chamada Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 0 - tg(0)0 + tg(0) = 0 - 00 + 0 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma outra abordagem para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma ferramenta útil é a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, identificamos e . Agora, vamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Calculando as derivadas:
f'(x) = ddx(x) - ddx(tg x) = 1 - sec^2 x
g'(x) = ddx(x) + ddx(tg x) = 1 + sec^2 x
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx to 0 1 - sec^2 x1 + sec^2 x
Sabemos que 1 - 1^21 + 1^2 = 1 - 11 + 1 = 02 = 0 , então substituindo :

Resposta

O limite é igual a 0.

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