Calcule o Limite, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , e estamos olhando para o comportamento da função quando chega perto de . O conteúdo aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta seguindo diferentes caminhos até o ponto e ver se todos levam ao mesmo resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que temos:
Queremos calcular o limite dessa função quando se aproxima de .

Passo 3

Para investigar se o limite existe, vamos calcular o limite ao seguir diferentes caminhos até . Se o resultado muda dependendo do caminho, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos começar com um caminho simples onde é uma constante múltiplo de , ou seja, , onde é uma constante. Substituindo por na função:
Agora, podemos fatorar no numerador e no denominador:
Percebemos que cancela, deixando:
Esse valor depende de , ou seja, do caminho que escolhemos.

Passo 5

Vamos ver alguns exemplos com diferentes valores de :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Esse último caso mostra que o limite não está definido para .

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Verifique se a função a seguir é homogênea, se sim informe o grau de homogeneidade:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Determine a derivada direcional de em na direção do vetor
(b) .