Calcule o Limite, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, e estamos olhando para o comportamento da função quando
chega perto de
. O conteúdo aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta seguindo diferentes caminhos até o ponto
e ver se todos levam ao mesmo resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que temos:
Queremos calcular o limite dessa função quando
se aproxima de
.
Passo 3
Para investigar se o limite existe, vamos calcular o limite ao seguir diferentes caminhos até
. Se o resultado muda dependendo do caminho, então o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos começar com um caminho simples onde
é uma constante múltiplo de
, ou seja,
, onde
é uma constante. Substituindo
por
na função:
Agora, podemos fatorar
no numerador e no denominador:
Percebemos que
cancela, deixando:
Esse valor depende de
, ou seja, do caminho que escolhemos.
Passo 5
Vamos ver alguns exemplos com diferentes valores de
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Esse último caso mostra que o limite não está definido para
.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Verifique se a função a seguir é homogênea, se sim informe o grau de homogeneidade:
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(b) .
(b)