Calcule o Limite, caso exista.
lim (x, y) (0,0) 2 x^3-3 y^3x^3+y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , e estamos olhando para o comportamento da função quando chega perto de . O conteúdo aqui é sobre limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta seguindo diferentes caminhos até o ponto e ver se todos levam ao mesmo resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que temos:
f(x, y) = 2x^3 - 3y^3x^3 + y^3
Queremos calcular o limite dessa função quando se aproxima de .

Passo 3

Para investigar se o limite existe, vamos calcular o limite ao seguir diferentes caminhos até . Se o resultado muda dependendo do caminho, então o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos começar com um caminho simples onde f(x, kx) = 2x^3 - 3(kx)^3x^3 + (kx)^3 = 2x^3 - 3k^3x^3x^3 + k^3x^3 é uma constante múltiplo de f(x, kx) = x^3(2 - 3k^3)x^3(1 + k^3) = 2 - 3k^31 + k^3 , ou seja, f(x, kx) = 2 - 3k^31 + k^3 , onde é uma constante. Substituindo por na função:
Agora, podemos fatorar no numerador e no denominador:
Percebemos que cancela, deixando:
Esse valor depende de , ou seja, do caminho que escolhemos.

Passo 5

Vamos ver alguns exemplos com diferentes valores de f(x, 0) = 2 - 01 + 0 = 2 :
  • Se f(x, x) = 2 - 31 + 1 = -12 :
f(x, -x) = 2 - 3(-1)^31 + (-1)^3 = 2 + 31 - 1 = 50
  • Se :
  • Se :
Esse último caso mostra que o limite não está definido para .

Resposta

O limite não existe.

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