Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos enfrentar esse desafio juntos! O exercício pede para usarmos o teste dos caminhos para provar que o limite abaixo não existe:
lim (x, y) (0,0) 2xyx^2+y^2
Para resolver isso, precisamos entender o que significa verificar o limite pelo teste dos caminhos. Basicamente, vamos olhar diferentes maneiras de aproximar o ponto e ver se o limite é o mesmo em todas essas “vias”. Se encontrarmos pelo menos duas vias que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.

Passo 2

Vamos começar escolhendo o caminho mais simples: x se aproxima de 0 mantendo y=0. Isso significa que estamos se movendo ao longo do eixo x em direção à origem.
Substituindo 2x cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 na função:
Então, ao seguir o caminho , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente para ver o que acontece. Vamos definir y como uma função de x, por exemplo, 2x cdot xx^2 + x^2 = 2x^22x^2 = 1 . Isso significa que estamos nos movendo ao longo da linha em direção à origem.
Substituindo na função:
Então, ao seguir o caminho , o limite é 1.

Passo 4

Comparando os resultados dos dois caminhos que escolhemos:
  • Pelo caminho , o limite é 0.
  • Pelo caminho , o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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