Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos enfrentar esse desafio juntos! O exercício pede para usarmos o teste dos caminhos para provar que o limite abaixo não existe:
Para resolver isso, precisamos entender o que significa verificar o limite pelo teste dos caminhos. Basicamente, vamos olhar diferentes maneiras de aproximar o ponto
e ver se o limite é o mesmo em todas essas “vias”. Se encontrarmos pelo menos duas vias que dão limites diferentes, podemos concluir que o limite geral não existe.
Passo 2
Vamos começar escolhendo o caminho mais simples: x se aproxima de 0 mantendo y=0. Isso significa que estamos se movendo ao longo do eixo x em direção à origem.
Substituindo
na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente para ver o que acontece. Vamos definir y como uma função de x, por exemplo,
. Isso significa que estamos nos movendo ao longo da linha
em direção à origem.
Substituindo
na função:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é 1.
Passo 4
Comparando os resultados dos dois caminhos que escolhemos:
- Pelo caminho
, o limite é 0. - Pelo caminho
, o limite é 1.
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Verifique se a função a seguir é homogênea, se sim informe o grau de homogeneidade:
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Calcule o Limite, caso exista.
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.