Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto
na direção do vetor
. A derivada direcional mostra como a função muda à medida que nos movemos nessa direção específica. Pra isso, vamos precisar do gradiente da função e do vetor direção devidamente normalizado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo
,
, e
,
Então,
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
para que ele tenha comprimento 1. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor.
O módulo de
é:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário
:
Passo 7
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Calcule o Limite, caso exista.
Esboçe a curva de nível de
que passa pelo ponto
e disenhe o vetor gradiente em
:
© .
©
Determine a derivada direcional máxima de
em
e a direção em que isto ocorre.
(a) ;
(a)