Determine a derivada direcional de em na direção do vetor
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . A derivada direcional mostra como a função muda à medida que nos movemos nessa direção específica. Pra isso, vamos precisar do gradiente da função e do vetor direção devidamente normalizado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo , , e ,
Então,

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção para que ele tenha comprimento 1. A normalização é feita dividindo cada componente pelo módulo do vetor.
O módulo de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional de no ponto na direção de é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário :

Passo 7

Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Calcule o Limite, caso exista.
Esboçe a curva de nível de que passa pelo ponto e disenhe o vetor gradiente em :
© .
Determine a derivada direcional máxima de em e a direção em que isto ocorre.
(a) ;