Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
Justifique.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A função que a gente tem é:
Nosso objetivo é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em várias variáveis e como calcular limites de funções nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para funções de duas variáveis,
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
.
Passo 3
Vamos analisar onde a função
está definida. Ela tem duas partes:
- Para todo
diferente de , a função é . - No ponto
, a função é zero.
Então, já sabemos que a função está definida em todo o plano, mas a continuidade no ponto
precisa ser verificada.
Passo 4
Para os pontos
diferentes de
, a função é uma fração onde o denominador
nunca é zero. Portanto, nesses pontos, a função é contínua.
Passo 5
O grande lance é verificar a continuidade em
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
, que é zero.
Passo 6
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na função:
Passo 7
Agora, calculamos o limite quando
tende a zero:
Esse limite é zero, independentemente do valor de
.
Passo 8
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é zero, concluímos que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Exercícios relacionados
Calcule o Limite, caso exista.
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Determine a derivada direcional de
em
na direção do vetor
(b) .
(b)
Esboçe a curva de nível de
que passa pelo ponto
e disenhe o vetor gradiente em
:
© .
©