Determine o conjunto dos pontos de continuidade de
f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }
Justifique.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre continuidade de funções de duas variáveis. A função que a gente tem é:
Nosso objetivo é descobrir em quais pontos essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade em várias variáveis e como calcular limites de funções nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Para funções de duas variáveis, é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual a .

Passo 3

Vamos analisar onde a função está definida. Ela tem duas partes:
  1. Para todo diferente de , a função é .
  2. No ponto , a função é zero.
Então, já sabemos que a função está definida em todo o plano, mas a continuidade no ponto precisa ser verificada.

Passo 4

Para os pontos diferentes de , a função é uma fração onde o denominador nunca é zero. Portanto, nesses pontos, a função é contínua.

Passo 5

O grande lance é verificar a continuidade em . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a , que é zero.

Passo 6

Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na função:

Passo 7

Agora, calculamos o limite quando tende a zero:
Esse limite é zero, independentemente do valor de .

Passo 8

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , que é zero, concluímos que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

Exercícios relacionados