Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
e
, da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções de duas variáveis e depois derivar novamente para achar as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo de
em relação a
.
Sabemos que
, já que
é constante. Além disso,
e
(porque a derivada de uma constante é zero).
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente
em relação a
para encontrar
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
no ponto
. Substituindo
na expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos repetir o processo para encontrar
. Primeiro, achamos a primeira derivada parcial de
em relação a
,
.
Aqui,
,
, e
.
Então,
Passo 6
Agora, derivamos novamente
em relação a
para encontrar
.
Passo 7
Por fim, calculamos
no ponto
. Substituindo
na expressão:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem no ponto
são
e
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
Calcule o limite, caso exista.
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e
Obtenha as derivadas parciais
, sendo
, no ponto
indicado.
e