Obtenha as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2 e partial^2 zpartial y^2, sendo z=f(x, y), no ponto P indicado.
z=ln (x y)-x^3+y^4 e P(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, partial^2 zpartial x^2 e partial^2 zpartial y^2, da função z = ln(xy) - x^3 + y^4 no ponto P(2,1). Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de funções de duas variáveis e depois derivar novamente para achar as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada parcial de z em relação a x, ou seja, partial zpartial x. Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos cada termo de z em relação a x.
partial zpartial x = partialpartial x ln(xy) - partialpartial x x^3 + partialpartial x y^4
Sabemos que partialpartial x ln(xy) = 1xy cdot y = 1x, já que y é constante. Além disso, partialpartial x x^3 = 3x^2 e partialpartial x y^4 = 0 (porque a derivada de uma constante é zero).
Então,
partial zpartial x = 1x - 3x^2

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente partial zpartial x em relação a x para encontrar partial^2 zpartial x^2.
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 1x - 3x^2 ) = -1x^2 - 6x

Passo 4

Agora, vamos calcular partial^2 zpartial x^2 no ponto P(2,1). Substituindo x = 2 na expressão que encontramos:
partial^2 zpartial x^2 = -1(2)^2 - 6 cdot 2 = -14 - 12 = -494

Passo 5

Vamos repetir o processo para encontrar partial^2 zpartial y^2. Primeiro, achamos a primeira derivada parcial de z em relação a y, partial zpartial y.
partial zpartial y = partialpartial y ln(xy) - partialpartial y x^3 + partialpartial y y^4
Aqui, partialpartial y ln(xy) = 1xy cdot x = 1y, partialpartial y x^3 = 0, e partialpartial y y^4 = 4y^3.
Então,
partial zpartial y = 1y + 4y^3

Passo 6

Agora, derivamos novamente partial zpartial y em relação a y para encontrar partial^2 zpartial y^2.
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( 1y + 4y^3 ) = -1y^2 + 12y^2

Passo 7

Por fim, calculamos partial^2 zpartial y^2 no ponto P(2,1). Substituindo y = 1 na expressão:
partial^2 zpartial y^2 = -1(1)^2 + 12 cdot (1)^2 = -1 + 12 = 11

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem no ponto P(2,1) são partial^2 zpartial x^2 = -494 e partial^2 zpartial y^2 = 11.

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