Calcule o Limite, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial
quando
se aproxima de 1. Estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem calcular os limites de cada componente da função. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e usar a regra de L’Hôpital quando necessário.
Passo 2
Vamos começar analisando a componente
da função:
Primeiro, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados:
Então, a fração fica:
Agora, substituímos
:
Passo 3
Agora, vamos para a componente
:
Ao substituir
, temos uma forma indeterminada
. Nesse caso, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
Calculando as derivadas:
Portanto, o limite fica:
Substituindo
:
Passo 4
Por fim, vamos olhar para a componente
:
Esse é bem direto. Basta substituir
:
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de 1 é:
Exercícios relacionados
Calcule o Limite, caso exista.
Determine
e
sendo
Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
Verifique se a função a seguir é homogênea, se sim informe o grau de homogeneidade: