Calcule o Limite, caso exista.
lim (t) (1) widehatF(t)=t^2-1t^3-1 i+sen(pi / t)t-1 j+2 t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite da função vetorial quando se aproxima de 1. Estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolvem calcular os limites de cada componente da função. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções racionais e usar a regra de L’Hôpital quando necessário.

Passo 2

Vamos começar analisando a componente t^2-1t^3-1 da função:
t^2-1 = (t-1)(t+1)
Primeiro, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados:
t^3-1 = (t-1)(t^2+t+1)
(t-1)(t+1)(t-1)(t^2+t+1) = t+1t^2+t+1
Então, a fração fica:
1+11^2+1+1 = 23
Agora, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a componente sin(pit)t-1 :
limt to 1 sin(pit)t-1 = limt to 1 ddt[sin(pit)]ddt(t-1)
Ao substituir ddt[sin(pit)] = cos(pit) cdot (-pit^2) , temos uma forma indeterminada ddt(t-1) = 1 . Nesse caso, usamos a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente:
limt to 1 (-pi cos(pit)t^2)
Calculando as derivadas:
-pi cos(pi)1^2 = -pi cdot (-1) = pi
Portanto, o limite fica:
Substituindo :

Passo 4

Por fim, vamos olhar para a componente 2t :
2 cdot 1 = 2
Esse é bem direto. Basta substituir :

Resposta

O limite da função limt to 1 widehatF(t) = 23 i + pi j + 2 k quando se aproxima de 1 é:

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