Determine partial fpartial x e partial fpartial y sendo f(x, y)= x+y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A parada aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função f(x, y) = x + y^4x^2 + y^2 onde :
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular ddx(uv) = u'v - uv'v^2 usando a regra do quociente. A fórmula geral para a derivada de u' = partial upartial x = 1 em relação a v' = partial vpartial x = 2x é:
partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2 - 2x y^4(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2 - 2x y^4(x^2 + y^2)^2
Aqui, e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular ddy(uv) = u'v - uv'v^2 . Usando novamente a regra do quociente:
u' = partial upartial y = 4y^3
Onde agora v' = partial vpartial y = 2y e partial fpartial y = (4y^3)(x^2 + y^2) - (x + y^4)(2y)(x^2 + y^2)^2 = 4x^2y^3 + 4y^5 - 2xy - 2y^5(x^2 + y^2)^2 = 4x^2y^3 + 2y^5 - 2xy(x^2 + y^2)^2 .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h + 0h^2 + 0 - 0h = limh to 0 h/h^2h = limh to 0 1h^2 . A função está definida como 0 nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada parcial:
Esse limite não existe porque tende ao infinito. O mesmo vale para . Portanto, as derivadas parciais não existem em .

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = -x^2 + y^2 - 2x y^4(x^2 + y^2)^2 são:
Para partial fpartial y = 4x^2y^3 + 2y^5 - 2xy(x^2 + y^2)^2 :
No ponto , as derivadas parciais não existem.

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