Determine
e
sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A parada aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A matéria envolvida é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
onde
:
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a regra do quociente. A fórmula geral para a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Usando novamente a regra do quociente:
Onde agora
e
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto
. A função
está definida como 0 nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada parcial:
Esse limite não existe porque tende ao infinito. O mesmo vale para
. Portanto, as derivadas parciais não existem em
.
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Para
:
No ponto
, as derivadas parciais não existem.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais:
.
Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:
Calcule o Limite, caso exista.
Calcule o Limite, caso exista.