Determine e sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A parada aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A matéria envolvida é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função onde :
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular usando a regra do quociente. A fórmula geral para a derivada de em relação a é:
Aqui, e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Usando novamente a regra do quociente:
Onde agora e .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos verificar as derivadas parciais no ponto . A função está definida como 0 nesse ponto. Vamos usar a definição de derivada parcial:
Esse limite não existe porque tende ao infinito. O mesmo vale para . Portanto, as derivadas parciais não existem em .

Resposta

As derivadas parciais de são:
Para :
No ponto , as derivadas parciais não existem.

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Determine as derivadas parciais: .
Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:
Calcule o Limite, caso exista.
Calcule o Limite, caso exista.