Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
lim (x, y) (2,0) (x-2)^2 y(x-2)^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que o limite não existe usando o teste dos caminhos. Isso significa que vamos analisar o limite ao se aproximar de por diferentes caminhos e ver se os resultados são diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde (x-2)^2 cdot 0(x-2)^4 + 0^2 = 0(x-2)^4 = 0 . Isso é basicamente se aproximar de ao longo do eixo .
Substituindo na expressão:
Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho diferente. Vamos definir (x-2)^2 cdot (x-2)^2(x-2)^4 + (x-2)^4 = (x-2)^42(x-2)^4 = 12 . Assim, estamos nos aproximando de de uma forma não-linear.
Substituindo na expressão:
Então, pelo caminho , o limite é .

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( e ) ao seguir caminhos diferentes para , concluímos que o limite não existe.

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