Esboce o gráfico das funções abaixo:
(a) -log_3(x+1)

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função -log_3(x+1). Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo se comporta e como as transformações afetam o gráfico padrão da função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função logarítmica básica é . O gráfico dessa função passa pelo ponto 1,0 porque . Também sabemos que o domínio dessa função é e que ela se aproxima do eixo y (assíntota vertical) conforme x se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos considerar a função . Aqui, estamos adicionando 1 dentro do logaritmo, o que resulta em uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade. Então, o ponto de interseção com o eixo x muda para e a assíntota vertical passa a ser .

Passo 4

Em seguida, aplicamos o sinal negativo na função, transformando-a em . O sinal negativo reflete o gráfico em relação ao eixo x. Isso significa que, enquanto a função original aumentava à medida que x aumentava, agora ela decresce. A interseção com o eixo x permanece em , mas a direção do crescimento muda.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos chave:
  • Ponto de interseção com o eixo x:
  • Assíntota vertical:
  • Comportamento quando :
  • Comportamento quando :

Resposta

O gráfico da função -log_3(x+1) é uma reflexão da função logarítmica básica em relação ao eixo x, transladada 1 unidade para a esquerda. Ele passa pelo ponto , tem uma assíntota vertical em , decréscimo contínuo à medida que x aumenta, aproximando-se do eixo x sem nunca tocá-lo.

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