A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que não está definida na origem
. Precisamos descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos ajustar o valor de
para tornar a função contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando
se aproxima de
de diferentes maneiras.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de
quando
ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, a descontinuidade é removível. Caso contrário, é essencial.
Passo 3
Primeiro caminho: Vamos fixar
e ver o que acontece com
.
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 4
Segundo caminho: Agora, fixamos
e calculamos
.
Aqui também, o limite é 0 ao longo de
.
Passo 5
Terceiro caminho: Vamos considerar um caminho geral onde
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Perceba que, dependendo do valor de
, o limite pode variar. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Passo 6
Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultam em valores diferentes (
,
,
, etc.), isso significa que o limite geral de
quando
não existe.
Resposta
A descontinuidade na origem é essencial, já que o limite de
quando
não existe. Portanto, não é possível redefinir
para tornar a função contínua nesse ponto.
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Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
d)
d)
Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$
c) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x{4}-(y-1){4}}{x{2}+(y-1){2}}$
Ache a diferencial total
.
Mostre que o gráfico de
situa-se no paraboloide
.