A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
a) f(x, y) = (x*y) / (x^2 + x*y + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que não está definida na origem . Precisamos descobrir se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, vamos ajustar o valor de para tornar a função contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando se aproxima de de diferentes maneiras.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de quando ao longo de diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, a descontinuidade é removível. Caso contrário, é essencial.

Passo 3

Primeiro caminho: Vamos fixar e ver o que acontece com .
Então, ao longo de , o limite é 0.

Passo 4

Segundo caminho: Agora, fixamos e calculamos .
Aqui também, o limite é 0 ao longo de .

Passo 5

Terceiro caminho: Vamos considerar um caminho geral onde , onde é uma constante.
Substituindo na função:
Perceba que, dependendo do valor de , o limite pode variar. Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .

Passo 6

Como os limites ao longo de diferentes caminhos resultam em valores diferentes ( , , , etc.), isso significa que o limite geral de quando não existe.

Resposta

A descontinuidade na origem é essencial, já que o limite de quando não existe. Portanto, não é possível redefinir para tornar a função contínua nesse ponto.

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