Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
d) lim (x, y) (0,0) sen^2 x+cos ^2 ye^2 x+e^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcular:
lim (x, y) (0,0) sin^2 x + cos^2 ye^2x + e^2y
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Vamos usar alguns teoremas de limites básicos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente quando sin^2 x + cos^2 y 0 + 1 = 1 e se aproximam de 0.
No numerador temos :
  • Sabemos que , então .
  • E , então .
Então, quando :

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador e^2x + e^2y 1 + 1 = 2 :
  • , então .
Portanto, quando :

Resposta

Assim, substituindo esses limites no fração original, temos:
lim (x, y) (0,0) sin^2 x + cos^2 ye^2x + e^2y = 12

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