Calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
e) lim (x, y) (2,3)(3 x^2+x y-2 y^2) f) lim (x, y, z) (0,0,0) (e^x+e^y+e^z)^2e^2 x+e^2 y+e^2 z

Passo 1

Nesta questão, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Vamos utilizar os teoremas de limite que dizem que funções contínuas permitem calcular o limite substituindo diretamente os valores para os quais a variável está se aproximando.

Passo 2

Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função contínua, podemos encontrar o limite substituindo e diretamente na expressão.

Passo 3

Substituindo os valores na função:
3x^2 + xy - 2y^2 = 3(2)^2 + (2)(3) - 2(3)^2
Calculando passo a passo:
= 3 cdot 4 + 6 - 2 cdot 9
= 12 + 6 - 18
= 18 - 18
= 0

Passo 4

Nesta segunda parte, precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar os teoremas de limite para funções de várias variáveis e explorar as aproximações de séries de Taylor para a função exponencial.

Passo 5

Primeiro, vamos lembrar que quando est�� próximo de 0. Vamos aplicar essa aproximação às funções no numerador e denominador.

Passo 6

Expandindo o numerador:
(e^x + e^y + e^z)^2 approx (3 + (x + y + z) + x^2 + y^2 + z^22)^2
Expansão completa e simplificação levando em conta termos de segunda ordem e ignorando termos de ordem superior:
approx 9 + 6(x + y + z) + 3(x^2 + y^2 + z^2)
Expandindo o denominador:
e^2x + e^2y + e^2z approx 3 + 4(x + y + z) + 2(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 7

Agora, substituindo as aproximações no limite:
lim(x,y,z)to(0,0,0) 9 + 6(x + y + z) + 3(x^2 + y^2 + z^2)3 + 4(x + y + z) + 2(x^2 + y^2 + z^2)
Ao considerar que 93 = 3 tendem a 0, os termos de primeira ordem ( ) e de segunda ordem ( ) também tendem a 0, deixando:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função abaixo.
d) f(x, y, z) = raiz(9 - x^2 - y^2 - z^2)
integral[sen(2 x+1)-1x^2] d x
integral ln (5 x) d x
A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
b) f(x, y) = x / (x^2 + y^2)