integral ln (5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve a função logarítmica natural. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u = ln(5x) e dv = dx . Na integração por partes, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar. Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx ln(5x) , dx = 15x cdot 5 , dx = 1x , dx e integrar v = integral dv = integral dx = x :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(5x) , dx = x cdot ln(5x) - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x ln(5x) - integral 1 , dx

Passo 5

Integrando o que sobrou:
= x ln(5x) - x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral ln(5x) , dx = x ln(5x) - x + C

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