Seja
Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites da função quando tende a e a . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites no infinito. Para resolver, vamos analisar como cada termo da função se comporta quando fica muito grande ou muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que queremos saber para qual valor a função se aproxima quando cresce sem limites, ou seja, fica cada vez maior positivamente.

Passo 3

Observando a função , percebemos que o termo de maior grau é . Em limites no infinito, os termos de menor grau (como e ) têm uma influência muito menor comparados ao termo de maior grau. Então, para muito grande, se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Sabemos que tende a quando tende a . Portanto, também tende a nesse caso.

Passo 5

Agora, vamos calcular . Isso significa que queremos saber para qual valor a função se aproxima quando fica cada vez mais negativo, ou seja, tende a .

Passo 6

Novamente, focamos no termo de maior grau, que é . Quando tende a , tende a porque um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo e aumenta em magnitude.

Passo 7

Assim, se comporta como , que está indo para . Portanto, também tende a quando tende a .

Resposta

e .

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Calcule a derivada.
constante
Calcule a derivada.
Calcule o limite, se existir.

18.

a) Use a definição de derivada para demonstrar que, se , então .