Considere
. Caso
, diga se
admite extensão contínua a
, ou seja, se existe função
contínua tal que
para todo
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função . O problema pergunta se essa função, que não está definida em todo o plano
(faltando o ponto
), pode ser estendida de forma contínua para todo
. Basicamente, queremos saber se dá pra definir
de um jeito que a função fique suave em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender onde a função não está definida. Olhando para , a parte
não faz sentido quando
e
, porque dá divisão por zero. Então, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, para estender
de forma contínua a todo
, precisamos verificar o que acontece com
quando
se aproxima de
. Se o limite de
quando
existir, podemos definir
como esse limite, fazendo a extensão contínua.
Passo 4
Vamos calcular o limite . Sabemos que para qualquer
. Então:
Isso nos dá uma “estimativa” para a função.
Passo 5
Agora, observamos que quando
,
. Então, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se
está “preso” entre duas funções que vão para zero, então
também vai para zero.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Sandwich:
E como
, concluímos que:
Resposta
Sim, a função
admite uma extensão contínua a
. Podemos definir
, e assim
será contínua em todo o plano.
Exercícios relacionados
Obtenha o maior subconjunto de
ou
, no qual a função é contínua
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.