Considere f(x, y) = x sen(1 / (x^2 + y^2)). Caso Dom(f) ≠ R^2, diga se f admite extensão contínua a R^2, ou seja, se existe função g: R^2 -> R contínua tal que g(x, y) = f(x, y) para todo (x, y) pertence ao Dom(f).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função . O problema pergunta se essa função, que não está definida em todo o plano (faltando o ponto ), pode ser estendida de forma contínua para todo . Basicamente, queremos saber se dá pra definir de um jeito que a função fique suave em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender onde a função não está definida. Olhando para , a parte não faz sentido quando e , porque dá divisão por zero. Então, o domínio de é .

Passo 3

Agora, para estender de forma contínua a todo , precisamos verificar o que acontece com quando se aproxima de . Se o limite de quando existir, podemos definir como esse limite, fazendo a extensão contínua.

Passo 4

Vamos calcular o limite . Sabemos que para qualquer . Então:
Isso nos dá uma “estimativa” para a função.

Passo 5

Agora, observamos que quando , . Então, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), se está “preso” entre duas funções que vão para zero, então também vai para zero.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Sandwich:
E como , concluímos que:

Resposta

Sim, a função admite uma extensão contínua a . Podemos definir , e assim será contínua em todo o plano.

Exercícios relacionados