Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
da expressão
quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente usa para se aproximar de
.
Passo 2
Uma maneira legal de analisar limites de funções com duas variáveis é transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
. Nessa transformação, temos:
Aqui,
representa a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na expressão original usando essas coordenadas:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
no numerador e no denominador:
Como
não é zero (já que estamos nos aproximando, mas não exatamente em
), podemos cancelar:
Passo 5
Lembrando que
(uma identidade trigonométrica básica), então:
E isso é igual a
, outra identidade trigonométrica.
Resposta
O limite depende do valor de
escolhido para se aproximar de
. Como
pode variar entre -1 e 1 dependendo de
, o limite não existe.
Exercícios relacionados
Considere
. Caso
, diga se
admite extensão contínua a
, ou seja, se existe função
contínua tal que
para todo
.
Obtenha o maior subconjunto de
ou
, no qual a função é contínua
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
RESOLVA DAS QUESTÕES DE 1 A 5 AS SEGUINTES EDOS DE PRIMEIRA ORDEM, USANDO A TÉCNICA DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS.