Calcule o limite, L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (s, t) (0,0) s^2-t^2s^2+t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da expressão quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente usa para se aproximar de .

Passo 2

Uma maneira legal de analisar limites de funções com duas variáveis é transformar as coordenadas cartesianas s = r cos(theta) e t = r sin(theta) em coordenadas polares . Nessa transformação, temos:
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo .

Passo 3

Vamos substituir s^2 - t^2s^2 + t^2 = (r cos(theta))^2 - (r sin(theta))^2(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 e = r^2 cos^2(theta) - r^2 sin^2(theta)r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) na expressão original usando essas coordenadas:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, podemos fatorar = r^2 (cos^2(theta) - sin^2(theta))r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) no numerador e no denominador:
= cos^2(theta) - sin^2(theta)cos^2(theta) + sin^2(theta)
Como não é zero (já que estamos nos aproximando, mas não exatamente em ), podemos cancelar:

Passo 5

Lembrando que = cos^2(theta) - sin^2(theta) (uma identidade trigonométrica básica), então:
E isso é igual a , outra identidade trigonométrica.

Resposta

O limite depende do valor de escolhido para se aproximar de . Como pode variar entre -1 e 1 dependendo de , o limite não existe.

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