Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da expressão quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, que é parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que a gente usa para se aproximar de .

Passo 2

Uma maneira legal de analisar limites de funções com duas variáveis é transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares . Nessa transformação, temos:
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo .

Passo 3

Vamos substituir e na expressão original usando essas coordenadas:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, podemos fatorar no numerador e no denominador:
Como não é zero (já que estamos nos aproximando, mas não exatamente em ), podemos cancelar:

Passo 5

Lembrando que (uma identidade trigonométrica básica), então:
E isso é igual a , outra identidade trigonométrica.

Resposta

O limite depende do valor de escolhido para se aproximar de . Como pode variar entre -1 e 1 dependendo de , o limite não existe.

Exercícios relacionados

Considere . Caso , diga se admite extensão contínua a , ou seja, se existe função contínua tal que para todo .
Obtenha o maior subconjunto de ou , no qual a função é contínua
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
RESOLVA DAS QUESTÕES DE 1 A 5 AS SEGUINTES EDOS DE PRIMEIRA ORDEM, USANDO A TÉCNICA DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS.