Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite:
Esse problema faz parte do estudo de limites em funções de várias variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta quando , e se aproximam de 0, observando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho específico para nos aproximarmos de . Vamos fixar e , e deixar se aproximar de 0.
Substituindo e na função, temos:
À medida que se aproxima de 0, cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Como vimos que ao se aproximar de pelo caminho onde e , o limite tende ao infinito, isso já indica que o limite geral pode não existir. Para confirmar, podemos verificar outros caminhos, mas nesse ponto já podemos concluir que o limite não está bem definido.

Resposta

O limite não existe, pois tende ao infinito ao se aproximar de por certos caminhos.

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