RESOLVA DAS QUESTÕES DE 1 A 5 AS SEGUINTES EDOS DE PRIMEIRA ORDEM, USANDO A TÉCNICA DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem aqui, que é tipo aquelas que relacionam uma função
com a sua derivada
. O desafio é resolver essa equação usando a técnica de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as partes que dependem de
das que dependem de
e depois integrar cada lado. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de um jeito que a gente consiga separar as variáveis
e
. Temos:
Vamos dividir ambos os lados por
e por
para isolar
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados. A gente vai integrar
em relação a
e
em relação a
.
Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito. Note que
é igual a
, mas vamos integrar diretamente:
Passo 4
Vamos igualar as integrais e juntar as constantes:
Podemos simplificar as constantes combinando
e
em uma única constante
:
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
.
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.