RESOLVA DAS QUESTÕES DE 1 A 5 AS SEGUINTES EDOS DE PRIMEIRA ORDEM, USANDO A TÉCNICA DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem aqui, que é tipo aquelas que relacionam uma função com a sua derivada . O desafio é resolver essa equação usando a técnica de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as partes que dependem de das que dependem de e depois integrar cada lado. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de um jeito que a gente consiga separar as variáveis e . Temos:
Vamos dividir ambos os lados por e por para isolar :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar os dois lados. A gente vai integrar em relação a e em relação a .
Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito. Note que é igual a , mas vamos integrar diretamente:

Passo 4

Vamos igualar as integrais e juntar as constantes:
Podemos simplificar as constantes combinando e em uma única constante :
Agora, vamos resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo em ; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. .
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.