Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+y^2-z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao estudo de limites em várias variáveis, mais especificamente em três dimensões. Para resolvê-lo, precisamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de .

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde x^2 + y^2 - 0^2x^2 + y^2 + 0^2 = x^2 + y^2x^2 + y^2 = 1 . Substituindo na função, temos:
Portanto, ao aproximar-se de pelo plano , o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar outro caminho onde 0^2 + 0^2 - z^20^2 + 0^2 + z^2 = -z^2z^2 = -1 e . Substituindo e na função, temos:
Assim, ao aproximar-se de ao longo do eixo , o limite é -1.

Passo 4

Como obtivemos valores diferentes (1 e -1) ao calcular o limite por dois caminhos distintos, isso indica que o limite depende do caminho escolhido. Em outras palavras, não importa quanto se aproxime de , o valor da função pode variar dependendo da trajetória.

Resposta

O limite não existe, pois valores diferentes são obtidos por caminhos distintos.

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