Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso envolve o estudo de limites de funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto . Para resolver isso, vamos explorar diferentes caminhos de aproximação e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Vamos agora considerar uma linha reta que passa pela origem, definida por , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 0 e também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo dessa linha é:

Passo 5

Para uma análise mais geral, consideremos um caminho qualquer definido por , onde é uma constante positiva. Substituindo na função:
Analisando o comportamento do limite:
  • Se (ou seja, ), então tende a 0.
  • Se , temos .
  • Se , tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, mas a taxa de crescimento do denominador é maior, resultando em 0.
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

Portanto, o limite quando se aproxima de é:

Exercícios relacionados

Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).
Determine o valor de , parą que a função abaixo seja continua:
Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).