Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (x, y) (0,0) y^3x+y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de para a função . Isso envolve o estudo de limites de funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto . Para resolver isso, vamos explorar diferentes caminhos de aproximação e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo 0^3x + 0^2 = 0x = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y^30 + y^2 = y^3y^2 = y , ou seja, quando . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 4

Vamos agora considerar uma linha reta que passa pela origem, definida por (m x)^3x + (m x)^2 = m^3 x^3x + m^2 x^2 = m^3 x^3x (1 + m^2 x) = m^3 x^21 + m^2 x , onde limx to 0 m^3 x^21 + m^2 x = 0 é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, se aproxima de 0 e também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo dessa linha é:

Passo 5

Para uma análise mais geral, consideremos um caminho qualquer definido por (x^k)^3x + (x^k)^2 = x^3kx + x^2k = x^3kx (1 + x^2k - 1) = x^3k - 11 + x^2k - 1 , onde é uma constante positiva. Substituindo na função:
Analisando o comportamento do limite:
  • Se (ou seja, ), então tende a 0.
  • Se , temos .
  • Se , tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, mas a taxa de crescimento do denominador é maior, resultando em 0.
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

Portanto, o limite L = 0 quando se aproxima de é:

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