Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
quando
se aproxima de
para a função
. Isso envolve o estudo de limites de funções de duas variáveis, onde analisamos o comportamento da função à medida que nos aproximamos do ponto
. Para resolver isso, vamos explorar diferentes caminhos de aproximação e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Portanto, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 4
Vamos agora considerar uma linha reta que passa pela origem, definida por
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0,
se aproxima de 0 e
também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo dessa linha é:
Passo 5
Para uma análise mais geral, consideremos um caminho qualquer definido por
, onde
é uma constante positiva. Substituindo
na função:
Analisando o comportamento do limite:
- Se
(ou seja, ), então tende a 0. - Se
, temos . - Se
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, mas a taxa de crescimento do denominador é maior, resultando em 0.
Em todos os casos, o limite é 0.
Resposta
Portanto, o limite
quando
se aproxima de
é:
Exercícios relacionados
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).
Determine o valor de
, parą que a função abaixo seja continua:
Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).