Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e esboçar o conjunto de nível da função para os níveis , e . Aqui, estamos trabalhando com conjuntos de nível, que são basicamente curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos isolar em termos de para cada nível dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de nível. Para um valor , o conjunto de nível da função é o conjunto de pontos que satisfazem . No nosso caso, temos:
Vamos rearranjar essa equação para isolar :
Isso nos mostra que, para cada valor de , é uma função quadrática de , o que significa que os conjuntos de nível são parábolas.

Passo 3

Agora, vamos calcular para cada um dos níveis dados: , e .
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos interpretar essas equações:
  • : Esta é uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a direita do eixo .
  • : Também é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita.
  • : É a parábola padrão que abre para a direita, com vértice na origem .

Passo 5

Para esboçar, imagine três parábolas abertas para a direita:
  1. A mais à direita está .
  2. No meio está .
  3. A mais à esquerda está .
Cada uma delas se curva simetricamente em relação ao eixo .

Resposta

Os conjuntos de nível da função para os níveis , e são as parábolas , e , respectivamente. Essas parábolas abrem para a direita e estão deslocadas para a direita no plano conforme os valores dos níveis.

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