Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e esboçar o conjunto de nível da função
para os níveis
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com conjuntos de nível, que são basicamente curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Para resolver isso, vamos isolar
em termos de
para cada nível dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de nível. Para um valor
, o conjunto de nível da função
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. No nosso caso, temos:
Vamos rearranjar essa equação para isolar
:
Isso nos mostra que, para cada valor de
,
é uma função quadrática de
, o que significa que os conjuntos de nível são parábolas.
Passo 3
Agora, vamos calcular
para cada um dos níveis dados:
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos interpretar essas equações:
-
: Esta é uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a direita do eixo . -
: Também é uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita. -
: É a parábola padrão que abre para a direita, com vértice na origem .
Passo 5
Para esboçar, imagine três parábolas abertas para a direita:
- A mais à direita está
. - No meio está
. - A mais à esquerda está
.
Cada uma delas se curva simetricamente em relação ao eixo
.
Resposta
Os conjuntos de nível da função
para os níveis
,
e
são as parábolas
,
e
, respectivamente. Essas parábolas abrem para a direita e estão deslocadas para a direita no plano
conforme os valores dos níveis.
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, quando existir. Caso contrário, justifique.
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:
Calcule o limite
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