Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (x, y) (0,0) x^5 y^3raiz(x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite lim(x, y) (0,0) x^5 y^3raizx^2+y^2 quando se aproxima de para a função:
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta perto do ponto .

Passo 2

Uma maneira eficiente de resolver limites em duas variáveis é usando coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares, podemos expressar x = r cos theta y = r sin theta e x^5 y^3raizx^2+y^2 = (r cos theta)^5 cdot (r sin theta)^3raiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 em termos de raizr^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = raizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raizr^2 = r (a distância até a origem) e r^5 cos^5 theta cdot r^3 sin^3 thetar = r^5 + 3 - 1 cos^5 theta sin^3 theta = r^7 cos^5 theta sin^3 theta (o ângulo). As fórmulas são:
Vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora que temos a expressão simplificada:
r^7 cos^5 theta sin^3 theta
Vamos analisar o que acontece quando tende a zero. Sabemos que e sempre estão entre e , então e também estarão nessa faixa. Isso significa que o termo será limitado e não afetará o limite final.
O fator que determina o comportamento da expressão é . À medida que se aproxima de zero, também se aproxima de zero. Portanto, o produto inteiro tende a zero.

Resposta

O limite L = 0 é:

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