Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de para a função:
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta perto do ponto .

Passo 2

Uma maneira eficiente de resolver limites em duas variáveis é usando coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares, podemos expressar e em termos de (a distância até a origem) e (o ângulo). As fórmulas são:
Vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora que temos a expressão simplificada:
Vamos analisar o que acontece quando tende a zero. Sabemos que e sempre estão entre e , então e também estarão nessa faixa. Isso significa que o termo será limitado e não afetará o limite final.
O fator que determina o comportamento da expressão é . À medida que se aproxima de zero, também se aproxima de zero. Portanto, o produto inteiro tende a zero.

Resposta

O limite é:

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Determine e esboce o gráfico da função :
a) .
b) .
c) .
d) .
Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).
Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.