Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite
quando
se aproxima de
para a função:
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta perto do ponto
.
Passo 2
Uma maneira eficiente de resolver limites em duas variáveis é usando coordenadas polares. Isso porque em coordenadas polares, podemos expressar
e
em termos de
(a distância até a origem) e
(o ângulo). As fórmulas são:
Vamos substituir essas expressões na função original:
Simplificando o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora que temos a expressão simplificada:
Vamos analisar o que acontece quando
tende a zero. Sabemos que
e
sempre estão entre
e
, então
e
também estarão nessa faixa. Isso significa que o termo
será limitado e não afetará o limite final.
O fator que determina o comportamento da expressão é
. À medida que
se aproxima de zero,
também se aproxima de zero. Portanto, o produto inteiro tende a zero.
Resposta
O limite
é:
Exercícios relacionados
Determine e esboce o gráfico da função
:
a)
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)
Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.