Determine o valor de , parą que a função abaixo seja continua:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo dos valores de e . O objetivo aqui é encontrar o valor de para que essa função seja contínua em todo o ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, para a função ser contínua no ponto , o limite de quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Como , precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, simplificamos a expressão dentro do limite:
Aqui, fatoramos no numerador e reescrevemos o denominador como .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite da fração quando se aproxima de . Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde e , com .
Substituindo, temos:
Quando , todo esse termo tende a 0, independente do valor de . Portanto:
Assim, o limite total fica:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite é 5, igualamos isso ao valor da função no ponto :
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados

Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).
Seja .
(f) Calcule e .