Determine o valor de k, parą que a função abaixo seja continua:
f(x, y)=l x y^2-y^2x^2+y^2-2 x+1+5 ; se (x, y) neq(1,0) k-10 ; se (x, y)=(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula dependendo dos valores de e . O objetivo aqui é encontrar o valor de para que essa função seja contínua em todo o ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, para a função ser contínua no ponto lim(x, y) to (1, 0) f(x, y) = f(1, 0) , o limite de lim(x, y) to (1, 0) ( x y^2 - y^2x^2 + y^2 - 2x + 1 + 5 ) = k - 10 quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Como , precisamos que:

Passo 3

Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, simplificamos a expressão dentro do limite:
x y^2 - y^2x^2 + y^2 - 2x + 1 + 5 = y^2(x - 1)(x - 1)^2 + y^2 + 5
Aqui, fatoramos no numerador e reescrevemos o denominador como .

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite da fração (r sin theta)^2 (r cos theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 sin^2 theta cos thetar^2 = r sin^2 theta cos theta quando lim(x, y) to (1, 0) y^2(x - 1)(x - 1)^2 + y^2 = 0 se aproxima de 0 + 5 = 5 . Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde e , com .
Substituindo, temos:
Quando , todo esse termo tende a 0, independente do valor de . Portanto:
Assim, o limite total fica:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite é 5, igualamos isso ao valor da função no ponto 5 = k - 10 :
k = 5 + 10 = 15
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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