Determine o valor de
, parą que a função abaixo seja continua:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de fórmula dependendo dos valores de
e
. O objetivo aqui é encontrar o valor de
para que essa função seja contínua em todo o ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de continuidade de funções e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, para a função ser contínua no ponto
, o limite de
quando
se aproxima de
tem que ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Como
, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular esse limite passo a passo. Primeiro, simplificamos a expressão dentro do limite:
Aqui, fatoramos
no numerador e reescrevemos o denominador como
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite da fração
quando
se aproxima de
. Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Substituindo, temos:
Quando
, todo esse termo tende a 0, independente do valor de
. Portanto:
Assim, o limite total fica:
Passo 5
Agora que sabemos que o limite é 5, igualamos isso ao valor da função no ponto
:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).
Seja
.
(f) Calcule e
.
(f) Calcule