a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro funções diferentes (a, b, c e d) que mapeiam números reais para outros conjuntos. O conteúdo principal aqui envolve funções matemáticas e suas propriedades como injeção e sobragem. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que cada propriedade significa e como aplicar isso a cada função apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são injeção e sobragem:
-
Injeção: Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de partida mapeia para um elemento único no conjunto de chegada. Ou seja, não há dois elementos diferentes que apontam para o mesmo elemento.
-
Sobragem: Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Com isso em mente, vamos analisar cada função uma por uma.
Passo 3
a)
-
Injeção: Sim, porque se
, então , o que implica que . -
Sobragem: Não, porque nem todo par
em pode ser obtido dessa forma. Só os pares onde estão na imagem de .
Passo 4
b)
-
Injeção: Não, porque
já que . Por exemplo, e são diferentes, mas se considerarmos apenas a segunda coordenada, conseguimos a mesma imagem para e . -
Sobragem: Não, porque nem todo par
pode ser atingido. Especificamente, deve ser igual a , então pares onde não estão na imagem.
Passo 5
c)
-
Injeção: Não, porque diferentes pares
podem resultar no mesmo valor de . Por exemplo, e ambos dão . -
Sobragem: Sim, qualquer número real
pode ser obtido escolhendo para algum . Por exemplo, fixando , temos .
Passo 6
d)
-
Injeção: Sim, porque se
, então e . Como a função cubo é injetora, segue que . -
Sobragem: Sim, porque para qualquer par
em , podemos escolher e , de forma que .
Resposta
a) Injetora, mas não sobrejetora.
b) Nem injetora nem sobrejetora.
c) Não injetora, mas sobrejetora.
d) Injetora e sobrejetora (bijetora).
b) Nem injetora nem sobrejetora.
c) Não injetora, mas sobrejetora.
d) Injetora e sobrejetora (bijetora).
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onde
e
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e interprete o resultado.
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onde
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Determine e esboce o gráfico da função
:
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.