a) f: R -> R x R, f(x) = (x, x).
b) f: R -> R x R, f(x) = (x, |x|).
c) f: R x R -> R, f(x, y) = x - |y|.
d) f: R x R -> R x R, f(x, y) = (x, y^3).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro funções diferentes (a, b, c e d) que mapeiam números reais para outros conjuntos. O conteúdo principal aqui envolve funções matemáticas e suas propriedades como injeção e sobragem. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que cada propriedade significa e como aplicar isso a cada função apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são injeção e sobragem:
  • Injeção: Uma função é injetora se cada elemento do conjunto de partida mapeia para um elemento único no conjunto de chegada. Ou seja, não há dois elementos diferentes que apontam para o mesmo elemento.
  • Sobragem: Uma função é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida.
Com isso em mente, vamos analisar cada função uma por uma.

Passo 3

a)
  • Injeção: Sim, porque se , então , o que implica que .
  • Sobragem: Não, porque nem todo par em pode ser obtido dessa forma. Só os pares onde estão na imagem de .

Passo 4

b)
  • Injeção: Não, porque já que . Por exemplo, e são diferentes, mas se considerarmos apenas a segunda coordenada, conseguimos a mesma imagem para e .
  • Sobragem: Não, porque nem todo par pode ser atingido. Especificamente, deve ser igual a , então pares onde não estão na imagem.

Passo 5

c)
  • Injeção: Não, porque diferentes pares podem resultar no mesmo valor de . Por exemplo, e ambos dão .
  • Sobragem: Sim, qualquer número real pode ser obtido escolhendo para algum . Por exemplo, fixando , temos .

Passo 6

d)
  • Injeção: Sim, porque se , então e . Como a função cubo é injetora, segue que .
  • Sobragem: Sim, porque para qualquer par em , podemos escolher e , de forma que .

Resposta

a) Injetora, mas não sobrejetora.
b) Nem injetora nem sobrejetora.
c) Não injetora, mas sobrejetora.
d) Injetora e sobrejetora (bijetora).

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