Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente ao estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites em diferentes direções e verificar se o resultado é o mesmo independentemente do caminho escolhido para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que e , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo formado com o eixo .
Substituindo na expressão original:

Passo 3

Simplificando a expressão:
Note que no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 4

Agora, observamos que o resultado final depende apenas de . Isso significa que o valor do limite depende do ângulo com o qual nos aproximamos do ponto .
Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 5

Como o valor do limite depende do ângulo e, portanto, do caminho seguido para chegar a , concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções. Em outras palavras, o limite varia conforme a direção de aproximação.

Resposta

O limite não existe porque seu valor depende da direção pela qual se aproxima de .

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