Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente ao estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar limites em diferentes direções e verificar se o resultado é o mesmo independentemente do caminho escolhido para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que
e
, onde
é a distância do ponto
até a origem e
é o ângulo formado com o eixo
.
Substituindo na expressão original:
Passo 3
Simplificando a expressão:
Note que
no numerador e no denominador se cancelam.
Passo 4
Agora, observamos que o resultado final depende apenas de
. Isso significa que o valor do limite depende do ângulo
com o qual nos aproximamos do ponto
.
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Passo 5
Como o valor do limite depende do ângulo
e, portanto, do caminho seguido para chegar a
, concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções. Em outras palavras, o limite varia conforme a direção de aproximação.
Resposta
O limite não existe porque seu valor depende da direção pela qual se aproxima de
.
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