Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
e também os pontos onde esses valores são atingidos. Vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como elas se comportam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Ela é composta por dois termos quadráticos:
e
, além de uma constante 3. Os termos quadráticos sempre são iguais ou maiores que zero, porque qualquer número ao quadrado não pode ser negativo.
Passo 3
Como os termos quadráticos são sempre positivos ou zero, o menor valor que
pode atingir é quando ambos
e
forem zero. Isso acontece quando
e
. Substituindo esses valores na função:
Então, o valor mínimo de
é 3 e ele ocorre no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos pensar no valor máximo. Como
inclui todos os números reais para
e
, podemos fazer
e
crescerem sem limites. Isso fará com que
também cresça sem restrições, o que significa que
pode ficar tão grande quanto quisermos. Portanto, não existe um valor máximo para
nesse conjunto.
Resposta
O valor mínimo de
é 3, atingido no ponto
. Não existe valor máximo para
em
.
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Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
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, quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
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