Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo em ; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto e também os pontos onde esses valores são atingidos. Vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como elas se comportam no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Ela é composta por dois termos quadráticos: e , além de uma constante 3. Os termos quadráticos sempre são iguais ou maiores que zero, porque qualquer número ao quadrado não pode ser negativo.

Passo 3

Como os termos quadráticos são sempre positivos ou zero, o menor valor que pode atingir é quando ambos e forem zero. Isso acontece quando e . Substituindo esses valores na função:
Então, o valor mínimo de é 3 e ele ocorre no ponto .

Passo 4

Agora, vamos pensar no valor máximo. Como inclui todos os números reais para e , podemos fazer e crescerem sem limites. Isso fará com que também cresça sem restrições, o que significa que pode ficar tão grande quanto quisermos. Portanto, não existe um valor máximo para nesse conjunto.

Resposta

O valor mínimo de é 3, atingido no ponto . Não existe valor máximo para em .

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RESOLVA DAS QUESTÕES DE 1 A 5 AS SEGUINTES EDOS DE PRIMEIRA ORDEM, USANDO A TÉCNICA DE SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS.
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo em ; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. .