Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo
em
; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
. Isso está relacionado à otimização de funções, que é o estudo de como encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores mais altos ou mais baixos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, como derivadas parciais e comportamento das funções no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Essa função representa uma superfície no espaço tridimensional. O termo
calcula a distância do ponto
até a origem. Então, a função basicamente diminui conforme nos afastamos da origem.
Passo 3
Para encontrar os pontos máximos e mínimos, precisamos procurar onde a função atinge seus valores extremos. Isso geralmente acontece onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero, ou nos limites do domínio.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso só acontece quando
e
.
Passo 6
Então, o único ponto crítico é
. Vamos verificar o valor da função nesse ponto:
Passo 7
Agora, precisamos analisar o comportamento da função quando
e
tendem ao infinito. Como
cresce sem limite, a função
vai tendendo a menos infinito. Isso significa que não há um valor mínimo finito na função.
Passo 8
Então, resumindo:
- A função atinge um valor máximo de
no ponto . - Não existe um valor mínimo finito, pois a função pode ficar tão negativa quanto quisermos à medida que
e aumentam.
Resposta
A função
atinge seu valor máximo de
no ponto
. Não há um valor mínimo finito, já que a função pode se tornar arbitrariamente negativa conforme
e
aumentam.