Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. f(x, y) = 2 - raiz(x^2 + y^2) e A = R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto . Isso está relacionado à otimização de funções, que é o estudo de como encontrar os pontos onde uma função atinge seus valores mais altos ou mais baixos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, como derivadas parciais e comportamento das funções no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . Essa função representa uma superfície no espaço tridimensional. O termo calcula a distância do ponto até a origem. Então, a função basicamente diminui conforme nos afastamos da origem.

Passo 3

Para encontrar os pontos máximos e mínimos, precisamos procurar onde a função atinge seus valores extremos. Isso geralmente acontece onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero, ou nos limites do domínio.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 5

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso só acontece quando e .

Passo 6

Então, o único ponto crítico é . Vamos verificar o valor da função nesse ponto:

Passo 7

Agora, precisamos analisar o comportamento da função quando e tendem ao infinito. Como cresce sem limite, a função vai tendendo a menos infinito. Isso significa que não há um valor mínimo finito na função.

Passo 8

Então, resumindo:
  • A função atinge um valor máximo de no ponto .
  • Não existe um valor mínimo finito, pois a função pode ficar tão negativa quanto quisermos à medida que e aumentam.

Resposta

A função atinge seu valor máximo de no ponto . Não há um valor mínimo finito, já que a função pode se tornar arbitrariamente negativa conforme e aumentam.

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