Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial parcial . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e integração, que são fundamentais no cálculo.

Passo 2

Primeiro, é importante entender que representa a derivada de em relação a , mantendo constante. Isso significa que vamos integrar a expressão dada em relação a para encontrar .

Passo 3

Vamos integrar cada termo da equação com relação a :

Passo 4

Realizando a integração termo a termo:
Aqui, é a constante de integração que pode depender de , já que estamos integrando em relação a .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo em ; determine, também, os pontos em que estes valores são atingidos. .
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Resolva as equações diferenciais parciais abaixo:
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: