Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar o conjunto de nível da função para os níveis , e . Isso envolve entender o que são funções de nível e como elas representam superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de três variáveis como , o conjunto de nível para um valor é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada valor de separadamente.
Para :
A equação fica . Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha. Essa superfície se parece com um saco infinito que se estende em todas as direções.
Para :
A equação se torna . Isso simplifica para , que representa um cone duplo. Imagine dois cones conectados pela ponta, um apontando para cima e outro para baixo.
Para :
A equação passa a ser , ou seja, . Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas. Visualmente, parece duas formas similares a sacos, mas separadas e espelhadas uma na outra.

Passo 4

Para esboçar esses conjuntos de nível:
  • Hiperbolóide de uma folha ( ): Desenhe uma superfície que se abre em todas as direções, com uma espécie de “saco” central.
  • Cone duplo ( ): Imagine dois cones perfeitos conectados na ponta. Um aponta para cima e o outro para baixo.
  • Hiperbolóide de duas folhas ( ): Desenhe duas superfícies semelhantes a sacos, separadas e espelhadas uma na outra, abertas nas direções opostas.

Resposta

O conjunto de nível da função para os níveis , e são:
  • Para : Hiperbolóide de uma folha.
  • Para : Cone duplo.
  • Para : Hiperbolóide de duas folhas.

Exercícios relacionados

Determine o valor de , parą que a função abaixo seja continua:
Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Seja .
(f) Calcule e .
Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.