Determine e esboce o conjunto de nível da função
(para os níveis
e 1 ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar o conjunto de nível da função
para os níveis
,
e
. Isso envolve entender o que são funções de nível e como elas representam superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de três variáveis como
, o conjunto de nível para um valor
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada valor de
separadamente.
Para
:
A equação fica . Essa é a equação de um hiperbolóide de uma folha. Essa superfície se parece com um saco infinito que se estende em todas as direções.
A equação fica
Para
:
A equação se torna . Isso simplifica para
, que representa um cone duplo. Imagine dois cones conectados pela ponta, um apontando para cima e outro para baixo.
A equação se torna
Para
:
A equação passa a ser , ou seja,
. Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas. Visualmente, parece duas formas similares a sacos, mas separadas e espelhadas uma na outra.
A equação passa a ser
Passo 4
Para esboçar esses conjuntos de nível:
-
Hiperbolóide de uma folha (
): Desenhe uma superfície que se abre em todas as direções, com uma espécie de “saco” central. -
Cone duplo (
): Imagine dois cones perfeitos conectados na ponta. Um aponta para cima e o outro para baixo. -
Hiperbolóide de duas folhas (
): Desenhe duas superfícies semelhantes a sacos, separadas e espelhadas uma na outra, abertas nas direções opostas.
Resposta
O conjunto de nível da função
para os níveis
,
e
são:
- Para
: Hiperbolóide de uma folha. - Para
: Cone duplo. - Para
: Hiperbolóide de duas folhas.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
, parą que a função abaixo seja continua:
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Seja
.
(f) Calcule e
.
(f) Calcule
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.