Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite multivariável que diz respeito a funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões (x, y, z). O enunciado é calcular:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para ver se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão. Temos multiplicando e tudo isso dividido pela raiz quadrada de . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa expressão quando , e todos se aproximam de zero.

Passo 3

Vamos começar avaliando o valor absoluto da função para facilitar:
Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função sem nos preocuparmos com os sinais.

Passo 4

Vamos separar o numerador:
Aqui, usamos a propriedade de que o valor absoluto de uma soma é menor ou igual à soma dos valores absolutos.

Passo 5

Agora, vamos tratar cada termo individualmente. Sabemos que:
Isso é resultado da desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos ajuda a relacionar produtos de termos com suas somas de quadrados.

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão original:
Isso simplifica a nossa análise, pois agora temos termos que podemos relacionar com a distância ao ponto (0,0,0).

Passo 7

Sabemos que , onde é a distância do ponto até a origem. Além disso, e .

Passo 8

Usando essas desigualdades, podemos boundar a expressão:

Passo 9

Dividindo pela raiz quadrada no denominador original, temos:

Passo 10

Agora, conforme , tanto quanto tendem a zero. Portanto, todo o termo que estamos considerando também tende a zero.

Passo 11

Como conseguimos mostrar que o valor absoluto da função tende a zero, podemos concluir que o limite da função original também é zero.

Resposta

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Seja .
(f) Calcule e .
Determine e esboce o conjunto de nível da função (para os níveis e 1 ).
Sejam e . Calcule
Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.