Calcule o limite L, quando existir. Caso contrário, justifique. lim (x, y, z) (0,0,0) x^2(y z+y)raizy^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite multivariável que diz respeito a funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões (x, y, z). O enunciado é calcular:
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2(y z + y)raizy^2+z^2
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para ver se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão. Temos multiplicando e tudo isso dividido pela raiz quadrada de . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa expressão quando , e todos se aproximam de zero.

Passo 3

Vamos começar avaliando o valor absoluto da função para facilitar:
| x^2(y z + y)raizy^2+z^2 |
Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função sem nos preocuparmos com os sinais.

Passo 4

Vamos separar o numerador:
|x^2(y z + y)| <= x^2(|y z| + |y|)
Aqui, usamos a propriedade de que o valor absoluto de uma soma é menor ou igual à soma dos valores absolutos.

Passo 5

Agora, vamos tratar cada termo individualmente. Sabemos que:
|y z| <= y^2 + z^22
Isso é resultado da desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos ajuda a relacionar produtos de termos com suas somas de quadrados.

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão original:
x^2(|y z| + |y|) <= x^2(y^2 + z^22 + |y|)
Isso simplifica a nossa análise, pois agora temos termos que podemos relacionar com a distância ao ponto (0,0,0).

Passo 7

Sabemos que , onde é a distância do ponto até a origem. Além disso, e .

Passo 8

Usando essas desigualdades, podemos boundar a expressão:
x^2(y^2 + z^22 + |y|) <= r^2(r^22 + r) = r^42 + r^3

Passo 9

Dividindo pela raiz quadrada no denominador original, temos:
r^42 + r^3raizy^2 + z^2 <= r^42 + r^3r = r^42r + r^3r = r^32 + r^2

Passo 10

Agora, conforme , tanto quanto tendem a zero. Portanto, todo o termo que estamos considerando também tende a zero.

Passo 11

Como conseguimos mostrar que o valor absoluto da função tende a zero, podemos concluir que o limite da função original também é zero.

Resposta

lim (x, y, z) (0,0,0) x^2(y z + y)raizy^2+z^2 = 0

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