Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite multivariável que diz respeito a funções de várias variáveis, especificamente em três dimensões (x, y, z). O enunciado é calcular:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos para ver se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão. Temos multiplicando e tudo isso dividido pela raiz quadrada de . Nosso objetivo é ver o que acontece com essa expressão quando , e todos se aproximam de zero.
Passo 3
Vamos começar avaliando o valor absoluto da função para facilitar:
Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função sem nos preocuparmos com os sinais.
Passo 4
Vamos separar o numerador:
Aqui, usamos a propriedade de que o valor absoluto de uma soma é menor ou igual à soma dos valores absolutos.
Passo 5
Agora, vamos tratar cada termo individualmente. Sabemos que:
Isso é resultado da desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos ajuda a relacionar produtos de termos com suas somas de quadrados.
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão original:
Isso simplifica a nossa análise, pois agora temos termos que podemos relacionar com a distância ao ponto (0,0,0).
Passo 7
Sabemos que , onde é a distância do ponto até a origem. Além disso, e .
Passo 8
Usando essas desigualdades, podemos boundar a expressão:
Passo 9
Dividindo pela raiz quadrada no denominador original, temos:
Passo 10
Agora, conforme , tanto quanto tendem a zero. Portanto, todo o termo que estamos considerando também tende a zero.
Passo 11
Como conseguimos mostrar que o valor absoluto da função tende a zero, podemos concluir que o limite da função original também é zero.