Sejam F(t)=-t i+j+e^t k e G(t)=i+j+k. Calcule integral0^1 F(t) cdot G(t) d t

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral do produto escalar entre os vetores e no intervalo de 0 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o produto escalar A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz . Sabemos que o produto escalar de dois vetores F(t) cdot G(t) = (-t)(1) + (1)(1) + (e^t)(1) = -t + 1 + e^t e é dado por:
Aqui, e .
Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral dessa expressão no intervalo de 0 a 1:
integral0^1 (-t + 1 + e^t) , dt
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral (-t) , dt = -t^22
integral 1 , dt = t
integral e^t , dt = e^t
Então, a integral completa fica:
[ -t^22 + t + e^t ]0^1

Passo 5

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 1 e 0:
Para -1^22 + 1 + e^1 = -12 + 1 + e = 12 + e :
-0^22 + 0 + e^0 = 0 + 0 + 1 = 1
Para ( 12 + e ) - 1 = 12 + e - 1 = e - 12 :
Subtraindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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