Sejam
e
. Calcule
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular a integral do produto escalar entre os vetores
e
no intervalo de 0 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a integração de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o produto escalar
. Sabemos que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Aqui,
e
.
Então:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral dessa expressão no intervalo de 0 a 1:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 4
Vamos integrar cada parte separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo os valores:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Seja
.
(f) Calcule e
.
(f) Calcule
Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.
Sejam
e
. Calcule