Sejam e . Calcule

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral do produto escalar entre os vetores e no intervalo de 0 a 1. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e a integração de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o produto escalar . Sabemos que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aqui, e .
Então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral dessa expressão no intervalo de 0 a 1:
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 1 e 0:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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Calcule o limite , quando existir. Caso contrário, justifique.
Seja .
(f) Calcule e .
Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.
Sejam e . Calcule