Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Equações de Bernoulli, que são equações diferenciais não lineares da forma:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
,
são funções de
. Nosso objetivo é resolver essa equação transformando-a em uma equação linear. Para isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que vamos elevar
a uma potência que vai nos ajudar a linearizar a equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Podemos rearranjar isso para encontrar
:
Passo 4
Substituímos
na equação original:
Como
, podemos escrever , mas na prática, isso simplifica de forma que conseguimos eliminar o termo não linear.
Passo 5
Após a substituição, a equação se torna:
Agora, essa é uma equação diferencial linear em
, que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 6
Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
para facilitar a integração.
Passo 7
Após multiplicar pelo fator integrante, a equação fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Isolamos
:
Lembrando que
, então podemos escrever:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli.
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli
��:
onde
e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule
Calcule o limite
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Sejam
e
. Calcule
Determine a curvatura da seguinte curva para quaisquer
no domínio