Equações de Bernoulli. Algumas vezes é possível resolver uma equação não linear fazendo uma mudança da variável dependente que a transforma em uma equação linear. O exemplo mais importante de tal equação é da forma
e é chamada de equação de Bernoulli em honra a Jakob Bernoulli. Os Problemas de 27 a 31 tratam de equações desse tipo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre Equações de Bernoulli, que são equações diferenciais não lineares da forma:
Aqui, é a derivada de em relação a , e , são funções de . Nosso objetivo é resolver essa equação transformando-a em uma equação linear. Para isso, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que vamos elevar a uma potência que vai nos ajudar a linearizar a equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 4

Substituímos na equação original:
Como , podemos escrever , mas na prática, isso simplifica de forma que conseguimos eliminar o termo não linear.

Passo 5

Após a substituição, a equação se torna:
Agora, essa é uma equação diferencial linear em , que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 6

Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por para facilitar a integração.

Passo 7

Após multiplicar pelo fator integrante, a equação fica:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Isolamos :
Lembrando que , então podemos escrever:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação de Bernoulli.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli ��:
onde e é a constante de integração.

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