Calcule, o limite, quando existir. Caso não exista, explique por quê.
lim x -3 x^2-9x^2-2 x-15

Passo 1

Estamos resolvendo um exercício de Cálculo sobre limites. Precisamos calcular o limite da função x^2-9x^2-2x-15 quando x se aproxima de -3. Para isso, vamos precisar fatorar polinômios e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = -3 diretamente na função para verificar se o limite pode ser calculado facilmente:
(-3)^2-9(-3)^2-2*(-3)-15 = 9-99+6-15 = 00
Como obtemos 00, que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^2 - 9. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Passo 4

Agora, fatoramos o denominador x^2 - 2x - 15. Procuramos dois números que multiplicados dão -15 e que somados dão -2. Esses números são -5 e +3. Então:
x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Passo 5

Substituímos as fatorações na expressão original:
(x - 3)(x + 3)(x - 5)(x + 3)
Observamos que o fator (x + 3) está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo:
x - 3x - 5

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo x = -3:
-3 - 3-3 - 5 = -6-8 = 68 = 34

Resposta

O limite é dfrac34.

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