Calcule, o limite, quando existir. Caso não exista, explique por quê.
lim x 0 raiz1+x-raiz1-xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Isso está relacionado ao estudo de limites na matéria de Cálculo, e vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz1+0 - raiz1-00 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador por um “conjugado” para eliminar as raízes. O conjugado da expressão raiz1+x - raiz1 - xx times raiz1+x + raiz1 - xraiz1+x + raiz1 - x = (raiz1+x)^2 - (raiz1 - x)^2x (raiz1+x + raiz1 - x) é . Vamos multiplicar a fração por esse conjugado:

Passo 4

Simplificando o numerador usando a diferença de quadrados:
(raiz1+x)^2 - (raiz1 - x)^2 = (1 + x) - (1 - x) = 1 + x - 1 + x = 2x
Então, a expressão fica:
2xx (raiz1+x + raiz1 - x)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o 2xx (raiz1+x + raiz1 - x) = 2raiz1+x + raiz1 - x que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite substituindo 2raiz1+0 + raiz1 - 0 = 21 + 1 = 22 = 1 :

Resposta

O limite é igual a 1.

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