Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta. lim x 1 x^3-1x^7-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^3-1x^7-1. A gente vai trabalhar com limites de funções, que é um tópico de cálculo. Para resolver, vamos precisar simplificar essa fração para conseguir calcular o valor quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituirmos x = 1 diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero: 1^3-11^7-1 = 00. Isso é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. Lembra que x^n - 1 pode ser fatorado como (x - 1) vezes uma soma de potências de x. Então:
  • Numerador: x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
  • Denominador: x^7 - 1 = (x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 4

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
x^3-1x^7-1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 5

Perceba que (x - 1) está no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que x neq 1, o que �� válido porque estamos olhando o limite quando x se aproxima de 1, mas não exatamente igual a 1):
x^2 + x + 1x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Passo 6

Agora, podemos substituir x = 1 diretamente nessa nova expressão simplificada:
  • Numerador: 1^2 + 1 + 1 = 3
  • Denominador: 1^6 + 1^5 + 1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 7

Resposta

Portanto, o limite é 37.

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Seja
f(x)= x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
lim x 1 f(x) Existe? Justifique.
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x 3^+[[x]]