Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta. lim x 3 x^2-9x^2+x-12

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 3 da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e álgebra básica para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir 3^2 - 93^2 + 3 - 12 = 9 - 99 + 3 - 12 = 00 diretamente na função para ver se obtemos um valor definido.
Substituindo:

Passo 3

A substituição direta resultou em uma indeterminação . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Denominador:
x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a fração, cancelando o fator comum (x - 3)(x + 3)(x + 4)(x - 3) = x + 3x + 4, x neq 3 :

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo limx 3 x + 3x + 4 = 3 + 33 + 4 = 67 :

Resposta

O limite é .

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