Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de
para a função
. Vamos usar conceitos de álgebra para simplificar essa expressão e então encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de seus fatores.
No numerador:
Podemos fatorar isso procurando dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então:
No denominador:
Vamos fatorar primeiro tirando um
em evidência:
Agora, o que está dentro dos parênteses:
Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o numerador e o denominador, vamos reescrever a expressão original:
Perceba que temos um
tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando um desses fatores:
Passo 4
Com a expressão simplificada, vamos analisar o comportamento dela quando
se aproxima de
. Substituindo
na expressão simplificada:
Aqui, vemos que o denominador está se aproximando de zero, o que indica que o limite pode ser infinito ou não existir.
Passo 5
Para entender melhor, vamos observar o sinal da função conforme
se aproxima de
:
-
Quando
se aproxima de pela direita ( ): -
é positivo. -
é negativo. -
é positivo (mas muito pequeno). - Então, a expressão total é positiva sobre negativa vezes positiva, resultando em
.
-
-
Quando
se aproxima de pela esquerda ( ): -
ainda é positivo. -
é negativo. -
é negativo (mas muito pequeno). - A expressão total novamente resulta em
.
-
Resposta
O limite é
, portanto ele não existe como um número real finito.
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