Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta. lim x -1 x^2+3 x+2x^3+2 x^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de para a função . Vamos usar conceitos de álgebra para simplificar essa expressão e então encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de seus fatores.
No numerador:
x^2 + 3x + 2
Podemos fatorar isso procurando dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então:
x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)
No denominador:
x^3 + 2x^2 + x
Vamos fatorar primeiro tirando um x(x^2 + 2x + 1) em evidência:
x^2 + 2x + 1
Agora, o que está dentro dos parênteses:
(x + 1)^2
Isso é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
x(x + 1)^2
Então, o denominador fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o numerador e o denominador, vamos reescrever a expressão original:
(x + 1)(x + 2)x(x + 1)^2
Perceba que temos um x + 2x(x + 1) tanto no numerador quanto no denominador. Podemos simplificar cancelando um desses fatores:

Passo 4

Com a expressão simplificada, vamos analisar o comportamento dela quando -1 + 2-1(-1 + 1) = 1-1 times 0 se aproxima de . Substituindo na expressão simplificada:
Aqui, vemos que o denominador está se aproximando de zero, o que indica que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 5

Para entender melhor, vamos observar o sinal da função conforme se aproxima de :
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    • é positivo.
    • é negativo.
    • é positivo (mas muito pequeno).
    • Então, a expressão total é positiva sobre negativa vezes positiva, resultando em .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    • ainda é positivo.
    • é negativo.
    • é negativo (mas muito pequeno).
    • A expressão total novamente resulta em .

Resposta

O limite é , portanto ele não existe como um número real finito.

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Seja
f(x)= x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
lim x 1 f(x) Existe? Justifique.