Seja
f(x)= x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
lim x 1 f(x) Existe? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta se o limite de quando se aproxima de 1 existe. A função é definida por partes, então vamos precisar entender conceitos de limites laterais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, com . Nesse caso, a função é .
Então, o limite pela esquerda é 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, com . Aqui, a função é .
Então, o limite pela direita é 1.

Passo 4

Para que o limite limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 1 exista, os limites laterais (pela esquerda e pela direita) precisam ser iguais. Aqui, vimos que:
Como 2 é diferente de 1, os limites laterais não são iguais.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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