Calcule o limite se existir. Explique suas contas.

Passo 1

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, precisamos entender o comportamento de e quando cresce muito.

Passo 2

Sabemos que cresce exponencialmente para o infinito, enquanto oscila entre -1 e 1. Quando combinamos essas duas funções, o termo vai dominar porque cresce muito mais rápido que .

Passo 3

Portanto, à medida que tende ao infinito, vai para e permanece limitado. Assim, o limite inteiro será dominado por .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0 da expressão . Precisamos manipular essa expressão para facilitar o cálculo.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as raízes. Sabemos que:
e
Então, a expressão fica:

Passo 6

Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para próximo de :
Aplicando isso:
Substituindo na expressão:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando tende a 2 da expressão . Precisamos verificar se há simplificações possíveis.

Passo 8

Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 9

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Passo 10

Finalmente, vamos calcular o limite quando tende a 1 da expressão . Aqui, precisamos avaliar o comportamento do expoente.

Passo 11

Primeiro, substituímos no expoente:
Então, a expressão se torna:

Passo 12

Sabemos que é uma constante, então o limite é simplesmente o valor dessa constante.

Resposta

Exercícios relacionados

Determine as constantes e para que seja derivável em .
Resposta: e .
Indique o dominio da função definida por
Determine se é continua em 0,1 e 2. Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
Nos exercícios 2 a 7 , calcular a integral indefinida.
4)