Calcule o limite se existir. Explique suas contas.
ll lim x infty-e^x+cos (x) & lim x 0 raiz4+4 x-raiz4-xx lim x 2 x^2-4x^2+2 x-8 & lim x 1 e^2 x^2-3 x-4

Passo 1

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, precisamos entender o comportamento de e quando cresce muito.

Passo 2

Sabemos que cresce exponencialmente para o infinito, enquanto oscila entre -1 e 1. Quando combinamos essas duas funções, o termo vai dominar porque cresce muito mais rápido que .

Passo 3

Portanto, à medida que tende ao infinito, vai para e permanece limitado. Assim, o limite inteiro será dominado por .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende a 0 da expressão . Precisamos manipular essa expressão para facilitar o cálculo.

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar as raízes. Sabemos que:
raiz4+4x = raiz4(1+x) = 2raiz1+x
e
raiz4-x = raiz4(1 - x4) = 2raiz1 - x4
Então, a expressão fica:
2raiz1+x - 2raiz1 - x4x = 2 cdot raiz1+x - raiz1 - x4x

Passo 6

Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para raiz1 + u approx 1 + u2 próximo de raiz1+x approx 1 + x2 :
raiz1 - x4 approx 1 - x8
Aplicando isso:
2 cdot (1 + x2) - (1 - x8)x = 2 cdot x2 + x8x = 2 cdot 5x8x = 2 cdot 58 = 54
Substituindo na expressão:

Passo 7

Vamos calcular o limite quando tende a 2 da expressão . Precisamos verificar se há simplificações possíveis.

Passo 8

Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)
Então, a expressão fica:
(x - 2)(x + 2)(x + 4)(x - 2) = x + 2x + 4 (x neq 2)

Passo 9

Agora, substituímos 2 + 22 + 4 = 46 = 23 na expressão simplificada:

Passo 10

Finalmente, vamos calcular o limite quando tende a 1 da expressão . Aqui, precisamos avaliar o comportamento do expoente.

Passo 11

Primeiro, substituímos 2(1)^2 - 3(1) - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 no expoente:
e^-5
Então, a expressão se torna:

Passo 12

Sabemos que é uma constante, então o limite é simplesmente o valor dessa constante.

Resposta

lim x 1 e^2 x^2-3 x-4 = e^-5

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