Calcule o limite se existir. Explique suas contas.
Passo 1
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Para resolver isso, precisamos entender o comportamento de
e
quando
cresce muito.
Passo 2
Sabemos que
cresce exponencialmente para o infinito, enquanto
oscila entre -1 e 1. Quando combinamos essas duas funções, o termo
vai dominar porque cresce muito mais rápido que
.
Passo 3
Portanto, à medida que
tende ao infinito,
vai para
e
permanece limitado. Assim, o limite inteiro será dominado por
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0 da expressão
. Precisamos manipular essa expressão para facilitar o cálculo.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar as raízes. Sabemos que:
e
Então, a expressão fica:
Passo 6
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para
próximo de
:
Aplicando isso:
Substituindo na expressão:
Passo 7
Vamos calcular o limite quando
tende a 2 da expressão
. Precisamos verificar se há simplificações possíveis.
Passo 8
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 9
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Passo 10
Finalmente, vamos calcular o limite quando
tende a 1 da expressão
. Aqui, precisamos avaliar o comportamento do expoente.
Passo 11
Primeiro, substituímos
no expoente:
Então, a expressão se torna:
Passo 12
Sabemos que
é uma constante, então o limite é simplesmente o valor dessa constante.