Determine se f é continua em 0,1 e 2. Justifique sua resposta (não precisa justificar o cálculo dos limites).
f(x)= x & se x<0 -x & se 0 <= x<1 x^2-1 & se 1 <= x<2 2 & se x=2 1+x & se x>2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar se a função é contínua nos pontos , e . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como aplicá-lo em funções definidas por partes. A continuidade em um ponto significa que o limite da função nesse ponto é igual ao valor da função no próprio ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em limx to 0^- f(x) = limx to 0^- x = 0 .
Para limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (-x) = 0 :
A função está definida de duas maneiras ao redor de 0:
  • Para , .
  • Para , .
Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita de 0.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Como os dois limites são iguais e iguais ao valor da função em 0 ( ), a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (-x) = -1 .
Para limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0 :
A função está definida de duas maneiras ao redor de 1:
  • Para , .
  • Para , .
Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita de 1.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
Os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), então a função não é contínua em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar a continuidade em limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3 .
Para limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (1 + x) = 1 + 2 = 3 :
A função está definida de três maneiras ao redor de 2:
  • Para , .
  • Em , .
  • Para , .
Vamos calcular o limite pela esquerda e pela direita de 2.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
O limite da função em 2 é 3, mas o valor da função em 2 é . Como o limite não é igual ao valor da função, a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é contínua em e .

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