Nos exercícios 2 a 7 , calcular a integral indefinida.
4) integral 15 sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida de . Estamos lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever isso como . A ideia aqui é separar uma parte da função seno que vai facilitar a substituição depois.

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com . Sabemos que , então podemos escrever . Isso vai nos ajudar a reescrever a integral em termos de cosseno.

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 15 sin^5 x , dx = 15 integral (1 - cos^2 x)^2 cdot sin x , dx
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.

Passo 5

Vamos deixar 15 integral (1 - u^2)^2 cdot (-du) . Então, a derivada de em relação a é . Isso significa que . Podemos substituir na integral:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
-15 integral (1 - u^2)^2 , du
Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :

Passo 7

Substituindo de volta:
-15 integral (1 - 2u^2 + u^4) , du = -15 ( integral 1 , du - 2 integral u^2 , du + integral u^4 , du )

Passo 8

Calculando cada uma das integrais:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Substituindo de volta:
-15 ( u - 2u^33 + u^55 ) + C

Passo 9

Agora, substituímos -15 ( cos x - 2 cos^3 x3 + cos^5 x5 ) + C de volta:
-15 cos x + 10 cos^3 x - 3 cos^5 x + C
Podemos fatorar o -15 para simplificar:

Resposta

A integral indefinida é:
-15 cos x + 10 cos^3 x - 3 cos^5 x + C

Exercícios relacionados