Nos exercícios 2 a 7 , calcular a integral indefinida.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral indefinida de
. Estamos lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e uma técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever isso como
. A ideia aqui é separar uma parte da função seno que vai facilitar a substituição depois.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com
. Sabemos que
, então podemos escrever
. Isso vai nos ajudar a reescrever a integral em termos de cosseno.
Passo 4
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral.
Passo 5
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso significa que
. Podemos substituir na integral:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Agora, vamos expandir
:
Passo 7
Substituindo de volta:
Passo 8
Calculando cada uma das integrais:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta:
Podemos fatorar o -15 para simplificar:
Resposta
A integral indefinida é: