Calcule o limite, se existir.
h) lim x 0 tanh a xx

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício pertence ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da função hiperbólica tangente ( ) e algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x . A tangente hiperbólica é definida por:
Mas para pequenos valores de , podemos usar a aproximação de Taylor para simplificar.

Passo 3

A série de Taylor de tanh(x) = x - x^33 + O(x^5) em torno de é:
Isso significa que, para valores de próximos de 0, .

Passo 4

Aplicando essa aproximação na expressão original, temos:
tanh(a x)x approx a xx = a
Aqui, cancelamos o no numerador e denominador.

Passo 5

Portanto, ao calcular o limite conforme lim x 0 tanh(a x)x = a se aproxima de 0:

Resposta

O limite é igual a .

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