Calcule o limite, se existir.
n) lim x infty(1+5x-1)^x+7

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com uma função exponencial onde a base se aproxima de 1 e o expoente vai para o infinito. Vamos utilizar o conceito de limites exponenciais e a definição do número para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite de uma forma que se assemelhe à definição de , que é . Para isso, precisamos manipular a expressão para ter uma base na forma onde tende ao infinito.

Passo 3

Observe que (1 + 5x)^x + 7 pode ser reescrito como quando tende ao infinito, pois a diferença entre e se torna insignificante. Então, aproximamos a expressão para:

Passo 4

Podemos separar o expoente (1 + 5x)^x cdot (1 + 5x)^7 em duas partes: e . Assim, temos:

Passo 5

Sabemos que limx infty (1 + 5x)^x = e^5 se assemelha à definição de , já que:

Passo 6

Agora, analisamos limx infty (1 + 5x)^7 = 1^7 = 1 . Como tende ao infinito, tende a 0, então temos:

Passo 7

Multiplicando os limites obtidos nos passos anteriores:
e^5 cdot 1 = e^5

Resposta

limx infty (1 + 5x - 1)^x + 7 = e^5

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