Calcule o limite, se existir.
h) lim x 0 tanh a xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite de tanh(a x)x quando x se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tanh se comporta perto de 0 e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tanh(x). A tangente hiperbólica é definida por:
tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x
Mas para facilitar a nossa vida com limites, sabemos que quando x é muito pequeno, tanh(x) pode ser aproximada por sua série de Taylor. A série de Taylor da tanh(x) em torno de x=0 é:
tanh(x) = x - x^33 + 2x^515 - dots
Para valores de x próximos de 0, os termos de ordem superior ( x^3, x^5, etc.) são muito pequenos e podem ser ignorados. Assim, podemos simplificar:
tanh(x) approx x

Passo 3

Agora, aplicando essa aproximação na expressão que queremos calcular:
limx to 0 tanh(a x)x
Substituímos tanh(a x) por aproximadamente a x:
limx to 0 a xx
Os x no numerador e no denominador se cancelam:
limx to 0 a = a

Resposta

O limite é igual a a.

Exercícios relacionados

Diga qual a inclinação m de cada reta. Justifique sua reposta (sem o uso de tabelas para graficar).
y = 2
Considere as funções S(x), P(x), s(x) do exercício anterior. Expresse cada uma das seguintes funções em termos de S(x), P(x), s(x) usando somente os sinais, + * e circ. (Por exemplo: sen^2(x) = S(s(x)) = (S o s)(x)
f(t) = 2^(2^t)
Calcule o limite, se existir.
n) lim x infty(1+5x-1)^x+7
Calcule o limite, se existir.
p) lim x 0 5^x+2-2510 x