Calcule o limite, se existir.
p) lim x 0 5^x+2-2510 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é o seguinte:
lim x 0 5^x+2-2510 x
Esse problema está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular exponenciais e aplicar técnicas básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador. Note que 5^x+2 pode ser reescrito como 5^2 cdot 5^x, porque quando as potências têm a mesma base, você soma os expoentes:
5^x+2 = 5^2 cdot 5^x = 25 cdot 5^x
Então, substituindo isso na expressão original:
5^x+2-2510 x = 25 cdot 5^x - 2510 x

Passo 3

Agora, fatoramos o 25 no numerador:
25(5^x - 1)10 x
Podemos simplificar a fração dividindo 25 por 10:
2510 cdot 5^x - 1x = 2.5 cdot 5^x - 1x

Passo 4

Agora, observamos o limite que precisamos calcular:
lim x 0 2.5 cdot 5^x - 1x
Podemos separar a constante 2.5 do limite:
2.5 cdot lim x 0 5^x - 1x

Passo 5

Sabemos de cálculo que:
lim x 0 a^x - 1x = ln a
Onde a é uma constante positiva. No nosso caso, a = 5, então:
lim x 0 5^x - 1x = ln 5

Passo 6

Substituindo de volta no nosso limite:
2.5 cdot ln 5

Resposta

O limite é igual a 2.5 cdot ln 5

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